曲率半径与圆周运动

一直觉得数学和物理水乳交融，纠缠不清。尤其近代的分析，完全都是在物理的驱动下建立起来的。考研复习的时候我就喜欢把一些东西联系起来思考，有时候可以省去繁琐的记忆。比如曲率半径那个写出来一大坨的公式。其实曲率半径，直观的讲就是一段曲线，在局部近似于一个圆，这个圆的半径就是曲率半径。结合物理的向心加速度和圆周运动的关系，可以很容易得出这个公式。

首先把曲线想象成参数方程，不是一条既定的曲线，而是一个点运动的轨迹。这就为加速度的出场提供了舞台。根据公式，a=v^2/r，r就是所求曲率半径，而v和a，不过是点位置的微分嘛。不过还要多一个心眼，参数方程微分出来的是总的加速度，而这里的a是向心加速度，只是其中一个分量，需要分解。

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如图把加速度a分解成了切向加速度at和法向加速度an，an和半径r肯定在同一直线上，而at与v方向相同。假设at与a夹角为A，an就应该等于asinA。A就是v和a的夹角，可以利用向量的外积来求。

$$sinA = { {\vec a \times \vec v} \over {|a||v|} } \\ a_n = |a|sinA= { { \vec a \times \vec v } \over |v| }$$

如果用参数方程，v就等于(x’,y’)，a就等于(x”, y”)，都是对参数t求导。现在直接给出的是y和x的关系，就是说x=t，那么x’就等于1，x”等于0，y’,y”形式上不变，不过变成对x求导。用行列式计算外积，再结合前面的加速度公式，就得到：

$$\begin{bmatrix} x' & y' \\ x" & y" \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & y' \\ 0 & y" \end{bmatrix} =y" \\ a_n = {v^2 \over r} = asinA = {|y"| \over |v|} \\ {1 \over r} = {|y"| \over |v|^3}$$

由于an这里求的只是大小，而y’’可能是个负的，所以加上绝对值。再算出

v

带入，完成:

$$|v| = \sqrt{x'^2+y'^2} = {\sqrt{1+y'^2}} \\ {1 \over r} = {|y"| \over (1+y'^2)^{3 \over 2}}$$